Обыкновенные дифференциальные уравнения порядка выше первого.

Обыкновенные дифференциальные уравнения порядка выше первого.

Уравнения, допускающие понижение порядка

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Уравнение Эйлера.

Уравнения, допускающие понижение порядка

1. Пусть уравнение имеет вид F(x,y(k),..,y(n))=0, т.е в уравнение не входит искомая функция. Тогда за новую неизвестную функцию берем низшую из производных, т.е. y(k)=z(x)

2. Путь в уравнение не входит x, т.е. уравнение имеет вид F(y,y’,y»,…,y(n))=0.

Тогда порядок уравнения можно понизить, взяв за новую независимую переменную у, а за неизвестную функцию у’=p(y)

3. Если уравнение однородно относительно "у" и его производных, т.е. не меняется от замены y, y’, y»,…на ky, ky’, ky»,… , то порядок можно понизить заменой: y’=yz, где z(x) — новая неизвестная функция.

4. Если уравнение F(x,y,y’,…,yn) =0 не отличается от уравнения F(kx, kmy,km-1y’,km-ny(n) )=0 при некотором "m" (уравнение называется обобщенно однородным, то исходное уравнение сводится к уравнению, не содержащему "х" при помощи замены x=et, y=z(t)emt

( Примеры и методы решений )

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

1. aoy(n)(x)+a1y(n-1)(x)+…+an-1y'(x)+any(x)≡0, ao, a1,…,an-1, an — const.

(Примеры и методы решений)

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

aoy(n)(x)+a1y(n-1)(x)+…+any(x)=f(x), ao, a1,…,an — const

(Примеры и методы решений)

Уравнение Эйлера.

aox(n)y(n)(x)+a1x(n-1)y(n-1)(x)+…+an-1xy’+any=f(x), где ao, a1,…,an — const

( Примеры и методы решений )

Оценка статьи:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)