Примеры решений линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Примеры решений линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

aoy(n)(x)+a1y(n-1)(x)+…+an-1y’(x)+any(x)≡0, ao,a1,…,an-1,an — const.

Составляем характеристическое уравнение aoλn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0.

Находим все его корни.

Общее решение исходного уравнения (yoo) есть сумма, состоящая из следующих слагаемых. Каждому простому вещественному корню λ отвечает слагаемое Ceλx. Каждому вещественному корню кратности "k" отвечает слагаемое (Co+C1x+C2x2+ Ck-1xk-1)eλx.

Каждой паре простых комплексно-сопряженных корней λ=α±βi отвечает слагаемое b1eαxcosβx+b2eαxsinβx. Каждой паре сопряженных корней λ=α±βi с кратностью "k" отвечает слагаемое (ao+a1x+…+ak-1xk-1)eαxcosβx+(do+d1x+…+dk-1xk-1 )eαxsinβx.

Пример 1:

y»’-8y=0, составляем характеристическое уравнение

λ3-8=0,

λ3— 23=0,  по формуле сокращенного умножения получаем,

(λ-2)(λ2+2λ+4)=0, откуда корни уравнения

λ1=2

Возвращаемся к исходным обозначемниям, выражаем у

Пример 2:

y3+8y»’+16y’=0, составляем характеристическое уравнение

λ5+8λ3+16λ=0, выносим общий множитель за скобки

λ(λ4+8λ2+16)=0, сворачиваем то, что в скобках по формуле сокращенного умножения

λ(λ2+4)2=0, ищем корни

λ1=0

λ2,3=±2i (кратность k=2), возвращаемся к исходным обозначениям, выражаем у

y=C1+(C2+C3x)cos2x+(C4+C5x)sin2x

Пример 3:

y»’+2y»+y’=0, составляем характеристическое уравнение

λ3+2λ2+λ=0, выносим общий множитель за скобки

λ(λ2+2λ+1)=0, сворачиваем то, что в скобках по формуле окращенного умножения

λ(λ+1)2=0, ищем корни

λ1=0

λ2,3=-1 (кратность k=2), возвращаемся к исходным обозначениям, выражаем у.

y=C1+(C2+C3x)e-x

Оценка статьи:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)