Примеры решений дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

Примеры решений дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

1.Пусть уравнение имеет вид F(x,y(k),..,y(n))=0, т.е. в уравнение не входит искомая функция. Тогда за новую неизвестную функцию берем низшую из производных, т.е. y(k)=z(x)

Пример 1:

x2y»=y’2

Обозначим

y'(x)=z(x), тогда x2z’=z, подставляем в исходное уравнение и переносим в левую часть все, что с "z", а в правую все с "x" (делим переменные).

, интегрируем, получаем

  , или

 , приводим к общему знаменателю

;отсюда выражаем "z" 

. Теперь возвращаемся к исходным обозначениям

; т.к. y’=dy/dx, то поделив обе части уравнения на dx  получим

 . Далее путем интегрирования ищем значение "у"

При делении потеряли решения z=0, y’=0, y=c, z=x, y’=x, y=x2/2+c

2) Путь в уравнение не входит x, т.е. уравнение имеет вид F(y,y’,y»,…,y(n))=0.

Тогда порядок уравнения можно понизить, взяв за новую независимую переменную у, а за неизвестную функцию у’=p(y)

Пример 2.

y»=2yy’

Полагаем y’=P(y), тогда
, следовательно 

P’P=2yP

P=0; P’=2y

y’=0; dp=2ydy

y=c; p=y2+C1 ; y’=y2+C1

a) при C1>0, т.е. C12

или y=Ctg(Cx)+C3

б) при C1<0, т.е. C1 =- C2

в) при C1=0

y’=y2, dy/y2=dx, -1/y=x+c

y=-1/(x+c)

3. Если уравнение однородно относительно "у" и его производных, т.е. не меняется от замены y, y’, y»,…на ky, ky’, ky»,… , то порядок можно понизить заменой: y’=yz, где z(x)— новая неизвестная функция.

Пример 3.

y(xy»+y’)=xy’2(1-x)

Если подставить вместо y=ky, y’=ky’, y»=ky», то получим новое уравнение k2y(xy»+y’) =k2xy’2 (1-x), которое отличается от исходного на множитель k2, который можно сократить.

Итак, делаем замену y’=yz и приводим исходное уравнение к виду y 2xz’+z2y2x+y2z =xy2z2(1-x)

или

y2x(z’+z+z2x2)=0

Откуда получаем решение у=0 и уравнение Бернулли xz’+z=-x2z2

Делим обе части на z2 и делаем замену 1/z=u, тогда уравнение приводится к линейному уравнению xu’-u=x2.

Заметим, что при делении на z2 потеряли решение z≡0, т.е. y’=0, т.е. у=с

Решая линейное уравнение получим u=x2+Cx

Тогда

Имеем два случая: При С=0, y=C1e-1/x

При C≠ 0

4) Если уравнение F(x,y,y’,…,yn) =0 не отличается от уравнения F(kx, kmy,km-1y’,km-ny(n) )=0 при некотором "m" (уравнение называется обобщенно однородным, то исходное уравнение сводится к уравнению, не содержащему "х" при помощи замены x=et, y=z(t)emt

Пример 4:

.

Заменим x→ kx, y→ kmy, y’→ km-1y’, y»→ km-2 , получаем km+1(-x2y’+x3y»+xy)=k2m(-x2y’2+2xy’y- y2)

Приравниваем степени k: m+1=2m⇒m-1 . Т.е. исходное уравнение при m=1 является обобщенно однородным.

Делаем замену x=et, y=z(t)et

т.к. y’x=y’t/x’t , то y’x=z’+z, xx=(z»+z’)e-t

Подставляем y’ и в исходное уравнение, и после приведения подобных членов, получаем z»+z’2=0, т.е. уравнение, не содержащее искомую функцию.

Оценка статьи:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)