Примеры решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Примеры решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Частное решение неоднородного (уч.н.) уравнения с постоянными коэффициентами.

aoy(n)(x)+a1y(n-1)(x)+…+any(x)=f(x).

Частное решение уравнения можно найти методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения yoo=C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cnyn(x).

Считаем C1,C2,…,Cnзависящими от х, т.е.

y=C1(х)y1(x)+C2(х)y2(x)+…+Cn(х)yn(x).

C1(х),C2(х),…,Cn(х) находятся из системы:

Если правая часть уравнения имеет вид f(x)=eαx[P(x)cosβx+Q(x)sinβx]), где P(x), Q(x) многочлены, то можно частное решение (yч.н.)искать в виде уч.н.=xseαx[R(x)cosβx+ T(x)sinβx].

Здесь или s=0, если число α+βi не является корнем характеристического уравнения или s равно кратности корня характеристического уравнения. А R(x) и T(x) многочлены степени, равной наибольшей из степеней многочленов R и Q. Чтобы найти коэффициенты многочленов R(x) и T(x), надо yч, y’ч , …, y(n)ч подставитьв исходное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах.

Если правая часть уравнения состоит из нескольких слагаемых вида aoy(n)(x)+a1y(n-1)(x)+…+any(x)=f(x), т.е. f(x)=f1(x)+f2(x)+…+fk(x), то частное решение уравнения с правой частью f(x) равно сумме частных решений уравнений с правыми частями f1(x),f2(x),…,fk(x).

Общее решение этого уравнения (yо.н.) равно сумме частного решения (уч.н.) и общего решения соответствующего однородного уравнения (yо.о.)

yо.н.ч.н.+yо.о.

Пример 1:

y»-3y’+2y=e3x

λ2-3λ+2=0,

λ1=1,λ2=2

y=С1ex2e2x.

yч1(x)ex2(x)e2x

Из системы получаем

С’1(x)=-e2x

С’2(x)=ex

Для частного решения можно взять

А общее решение

Пример 2:

y»+2y’-3y=x2ex

Правая часть имеет вид

Характеристическое уравнение

λ2+2λ-3=0 имеет корни

λ1=1

λ2,3=-3

И следовательно, α+βi=1 является корнем характеристического уравнения кратностью 1. Поэтому частное решение ищем в виде

y=C1+(C2+C3x)cos2x+(C4+C5x)sin2x

Подставляя yч, y’ч, y»ч, в исходное уравнение имеем

, сокращаем ех . Приравниваем коэффициенты при подобных членах

Общее решение соответствующего однородного уравнения (yоо) имеет вид

yоо1ех2е-3х

Общее решение неоднородного уравнения (yон)

Пример 3:

y»+y=xsinx

Представим правую часть уравнения в виде

f(x)=eox[0*cosx+xsinx]

α=0, β=1, α+βi=i, P(x)=0, Q(x)=1

λ2+1=0, λ1,2=±i

α+βi является корнем характеристического уравнения кратности 1

Подставляем в исходное уравнение у и приравниваем коэффициенты при подобных членах:

(4Cx+2a+2d)cosx+(-4ax+2c-2b)sinx=xsinx

Оценка статьи:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)