Примеры решений линейных дифференциальных уравнений (и сводящихся к ним)

Примеры решений линейных уравнений (и сводящихся к ним)

1. y’+a(x)y=b(x)

Сначала надо решить методом разделения переменных однородное уравнение y’+a(x)y=0. В общем решении однородного уравнения заменить произвольную постоянную "с" на неизвестную функцию с(х) и подставить в исходное уравнение.

Пример.

xy’-2y=2x4

y’-(2/x)y=2x3

y’-(2/x)y=0, dy/y=2dx/x

ln|y|=2ln|x|+lnc

y=cx2

y=(x)x2

c’x2+2cx-(2/x)*c)x2=2x3

(dc/dx)*x2=2x3

dc=2xdx

c(x)=x2+c1

Тогда y=c(x)x2=(x2+c1)x2=cx2+ x4

2. Уравнение y’+a(x)y=b(x)yn называется уравнением Бернулли.

Чтобы решить это уравнение, надо обе его части разделить на yn и сделать замену z=1/yn-1. После замены получается линейное уравнение.

Пример.

Уравнение сводимое к однородному

Уравнение сводимое к однородному линейное уравнение.

Решаем относительно z однородное

Уравнение сводимое к однородному

Подставляя z=c(x) в линейное, получим

Уравнение сводимое к однородному

А решением исходного уравнения будет y≡0 (которое потеряли при делении на y3 исходного уравнения) и y-2=x4(2ex+c1)

3) Уравнение y’+a(x)y+b(x)y2=c(x) (Риккати) в общем случае не решается в квадратурах.

Если же известно одно его частное решение y1(x), то заменой y=y1(x)+z(x) уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли. Иногда частное решение удается подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения, т.е. члена, не содержащего у.

Пример

Для уравнения y’+y2=x2-2x в левой части будут члены, подобные членам правой части, если взять y=ax+b.

Подставим y=ax+b в уравнение и приравняем коэффициенты при подобных членах

Уравнение сводимое к однородному

если a=+1, b=-1, то a+b2≠ 0

если a=-1, b=1, то a+b2=0

Итак, y=-x+1частное решение исходного уравнения.

Теперь делаем замену y=-x+1+z(x) и подставляем в исходное уравнение

-1+z’+x2 +1+z2-2x-2xz+2z=x2-2x

z’+(2-2x)z=-z2, получили уравнение Бернулли.

Оценка статьи:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)