Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел — матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m — строк и n — столбцов.

Матрицы

Элементы матрицы aij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,…, ann .

Равенство матриц.

A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц — поэлементная операция

Матрицы. Сложение матриц

2. Вычитание матриц — поэлементная операция

Матрицы. Вычитание матриц

3. Произведение матрицы на число — поэлементная операция

Матрицы. Умножение матрицы на число

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сij матрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Матрицы

Покажем операцию умножения матриц на примере

Матрицы. Умножение матриц

5. Возведение в степень

Матрицы. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А — квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают AT или A’

Матрицы. Транспонирование

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Матрицы. Транспонирование

Свойства опрераций над матрицами

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(A’)’=A

(λA)’=λ(A)’

(A+B)’=A’+B’

(AB)’=B’A’

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n — произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) — во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

Матрицы.

5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если i≠j. Например

Матрицы.

6. Единичная матрица: m=n и

Матрицы.

7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2,…,m

j=1,2,…,n

Матрицы.

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример.

Матрицы.

9. Симметрическая матрица: m=n и aij=aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A’=A

Например,

Матрицы.

10. Кососимметрическая матрица: m=n и aij=-aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем aii=-aii)

Пример.

Матрицы.

Ясно, A’=-A

11. Эрмитова матрица: m=n и aii=-ãii (ãji — комплексно — сопряженное к aji, т.е. если A=3+2i, то комплексно — сопряженное Ã=3-2i)

Пример

Матрицы.

Оценка статьи:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)