Объемы и площади поверхностей усеченных пирамид и конусов.

Формулы объема

Объемы и площади поверхностей усеченных пирамид и конусов.

Усеченная пирамида или конус — это часть, остающаяся после отсечения вершины плоскостью, параллельной основанию.

Объем усеченной пирамиды или конуса равен объему целой пирамиды или конуса минус объем отсеченной вершины.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды или конуса равна площади поверхности целой пирамиды или конуса. минус площадь боковой поверхности отсеченной вершины. Если необходимо найти общую площадь усеченной фигуры, тогда площадь двух параллельных оснований добавляется к площади боковой поверхности.

Существует и другой метод определения объема и площади поверхности усеченного конуса:

Усеченный конус

V=1/3 π h(R2+Rr+r2),

площадь боковой поверхности конуса S=π l(R+r),

общая площадь поверхности Sо=π l(R+r)+πr2+πR2

Пример1. Определение площади необходимого для изготовления материала для абажура. (Расчет площади боковой поверхности конуса).

Усеченный конус. Определение площади боковой поверхности.

Абажур имеет форму усеченного конуса. Высота абажура равна 50 см, нижний и верхний диаметры — 40 и 20 см соответственно.

Определить с точностью до 3х значащих цифр площадь материала, необходимого для изготовления абажура.

Как было определено выше, площадь боковой поверхности усеченного конуса S=π l(R+r).

Поскольку верхний и нижний диаметры усеченного конуса равны 40 и 20 см, то из рис. выше находим r=10 см, R=20 см и

l=(50 2+102)1/2=50,99 согласно теореме Пифагора,

Следовательно, площадь боковой поверхности конуса равна S=π 50,99(20+10)=4803,258 см2 , т.е. площадь необходимого для изготовления абажура материала равняется 4800 см2 с точностью до 3х значащих цифр, хотя, конечно, сколько на самом деле уйдет материала зависит от кроя.

Пример 2. Определение объема цилидра, увенчанного усеченным конусом.

Цилиндр с конической частью

Башенный охладитель имеет форму цилиндра, увенчанного усеченным конусом, как показано на рис. ниже. Определить объем воздушного пространства в башне, если 40 % объема занято трубами и другими структурами.

Объем цилиндрической части

V=π R2h=π(27/2)2*14=8011,71 м3

Объем усеченного конуса

V=1/3 π h(R2+Rr+r2), где

h=34-14=20 м, R=27/2=13,5 м и r=14/2=7 м.

Т.к. R=27/2=13,5 м и r=14/2=7 м.

Следовательно, объем усеченного конуса

V=1/3 π 20(13,52+13,5*7+72)=6819,03 м3

Общий объем башенного охладителя V общ. =6819,03+8011,71=14830,74 м3.

Если 40% объема занято, объем воздушного пространства V=0,6*14830,74=8898,44 м3

Оценка статьи:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)